怎么解不等式

一、不等式的基本概念

不等式是数学中表示两个量之间大小关系的式子，用不等号（>、<、≥、≤）连接。解不等式就是求出使不等式成立的未知数的取值范围，这个范围称为不等式的解集。

二、不等式的基本性质

在解不等式时，我们需要掌握以下基本性质：

1. 传递性：若a > b，b > c，则a > c
2. 可加性：若a > b，则a + c > b + c
3. 可乘性：若a > b，c > 0，则ac > bc；若a > b，c < 0，则ac < bc
4. 可乘方性：若a > b > 0，n > 0，则aⁿ > bⁿ

三、一元一次不等式的解法

一元一次不等式的一般形式为：ax + b > 0（或ax + b < 0，ax + b ≥ 0，ax + b ≤ 0）

解一元一次不等式的步骤：

1. 移项：将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边
2. 合并同类项
3. 系数化为1（注意：若系数为负数，不等号方向要改变）

例如：解不等式 2x – 3 > 5

1. 移项：2x > 5 + 3
2. 合并：2x > 8
3. 系数化为1：x > 4

四、一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式为：ax² + bx + c > 0（或ax² + bx + c < 0，ax² + bx + c ≥ 0，ax² + bx + c ≤ 0）

解一元二次不等式的步骤：

1. 将不等式整理为标准形式
2. 求出对应方程的根
3. 根据二次函数图像（抛物线）和不等号方向确定解集

例如：解不等式 x² – 5x + 6 > 0

1. 方程x² – 5x + 6 = 0的根为x₁ = 2，x₂ = 3
2. 抛物线开口向上，与x轴交于(2,0)和(3,0)
3. 不等式x² – 5x + 6 > 0的解集为x 3

五、分式不等式的解法

分式不等式的解法通常是将不等式转化为整式不等式来解。

解分式不等式的步骤：

1. 将不等式整理为f(x)/g(x) > 0（或< 0，≥ 0，≤ 0）的形式
2. 确定分子分母的零点
3. 在数轴上标出这些零点，划分区间
4. 在每个区间内确定分式的符号
5. 根据不等号方向确定解集

例如：解不等式 (x-1)/(x+2) > 0

1. 分子零点：x = 1，分母零点：x = -2
2. 在数轴上标出-2和1，划分三个区间：(-∞,-2)、(-2,1)、(1,+∞)
3. 确定各区间符号：(-∞,-2)为正，(-2,1)为负，(1,+∞)为正
4. 解集为x 1

六、绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法关键是去掉绝对值符号，转化为普通不等式。

常见的绝对值不等式及其解法：

• |x| 0）的解集为：-a < x < a
• |x| > a（a > 0）的解集为：x a
• |f(x)| < g(x)的解集为：-g(x) < f(x) < g(x)
• |f(x)| > g(x)的解集为：f(x) g(x)